Ciclo Trigonométrico

A trigonometria possui diversas aplicações práticas. Encontramos aplicações da Trigonometria na Engenharia, na Mecânica, na Eletricidade, na Acústica, na Medicina, na Astronomia e até na Música. Por exemplo, a trigonometria do triângulo retângulo nos permite realizar facilmente cálculos como:

• Altura de um prédio através de sua sombra; 
• Distância a ser percorrida em uma pista circular de atletismo; 
• Largura de rios, montanhas etc.; 
• Medida do raio da Terra, distância entre a Terra e a Lua. 

Os estudos trigonométricos no triângulo retângulo têm por finalidade relacionar os ângulos do triângulo com as medidas dos lados, por meio das seguintes relações: seno, cosseno e tangente.



Com a finalidade de facilitar esses estudos e visualização das relações e proporções entre os lados dos triângulos retângulos, foi idealizado o ciclo trigonométrico, que nada mais é do que uma circunferência de raio unitário com centro na origem de dois eixos de um plano cartesiano ortogonal.



A ideia de volta está presente no ciclo trigonométrico. Como o comprimento da circunferência é 2·π, podemos dizer que uma volta completa nesse ciclo tem essa medida. Portanto, meia-volta é igual a π. O ângulo gerado por meia-volta é 180°, pois é metade de 360°

                          

Quadrantes

Os ângulos presentes na figura acima marcam posições muito importantes no ciclo trigonométrico: os chamados quadrantes. Eles são definidos no sentido anti-horário.

Em cada um desses quadrantes pode ser encontrado um intervalo de números reais em função de π em que cada valor está relacionado a um ângulo. Veja:

• Quadrante I: contém os números reais que vão de 0 até π/2 e os ângulos entre 0° e 90°. 
• Quadrante II: contém os números reais que vão de π/2 até π e os ângulos entre 90° e 180°. 
• Quadrante III: contém os números reais que vão de π até 3π/2 e os ângulos entre 180° e 270°. 
• Quadrante VI: contém os números reais que vão de 3π/2 até 2π e os ângulos entre 270° e 360°. 

Arcos e Ângulos

Arco é o comprimento compreendido entre dois pontos pertencentes a uma dada circunferência. O arco que corresponde à metade de uma circunferência é uma semicircunferência; a quarta parte é um quadrante.


Seja uma circunferência de centro O sobre a qual tomamos dois pontos distintos, A e B. A seguir, ainda sobre a circunferência, tomemos um terceiro ponto M, distinto dos anteriores. A circunferência fica dividida em duas partes, cada uma das quais é um arco de circunferência:

• Arco de circunferência AMB, e
• Arco de circunferência AM'B.
• A e B são as extremidades do arco.

                                                             
É importante lembrar que:


A cada arco tomado corresponde um ângulo central e a medida de um arco equivale à medida do ângulo central correspondente.


Assim, por exemplo, se, na figura, x é a medida do ângulo central AÔB então m (AMB) = x. Analogamente se y é a medida do outro ângulo central então m(AM'B) = y.


Se não houver dúvida quando ao arco a que nos referimos, podemos escrever apenas AB ao invés de AMB.


Atenção: não confunda medida de arco com comprimento de arco. Estes são conceitos bem diferentes. Se por exemplo você puder “cortar” a circunferência mostrada na figura acima nos pontos A e B e em seguida “alinhar” cada um dos dois arcos segundo um segmento de reta e medir o comprimento desses segmentos (com uma régua, por exemplo) você obterá como resultados os comprimentos dos dois arcos.

MEDIDAS DE ARCOS E ÂNGULOS

Medir um arco (ou ângulo) é compará-lo com outro, unitário.

• GRAU

Um grau é definido como a medida do ângulo central subtendido por um arco igual a 1/360 da circunferência que contém o arco. (Indica-se 1º). Então podemos dizer que uma circunferência (ou arco de uma volta) mede 360º.

• RADIANOS

O radiano (notação: rad) é definido como a medida de um ângulo central subtendido por um arco cujo comprimento é igual ao raio da circunferência que contém o arco. A circunferência toda contém 2π raios, o que significa que seu comprimento é igual a 2πr e que a medida dela (correspondente ao arco de uma volta) é de 2π rad.

O que é o ?

Os egípcios chegaram ao valor aproximado de 3,14159265358979323846… há 3500 anos partindo de um quadrado inscrito numa circunferência, cujo lado media nove unidades. Eles, então, dobraram os lados do quadrado para obter um polígono de oito lados e calcularam a razão entre os perímetros dos octógonos inscrito e circunscrito e o diâmetro da circunferência.



Sabendo-se que a circunferência (ou arco de uma volta) mede 360º ou 2π rad, podemos estabelecer entre as unidades as relações:

360º<->2πrad

180º <-> πrad

O percurso sobre um arco desde sua origem até sua extremidade poderá ser feito em dois sentidos: horário ou anti-horário.

Arco AB orientado no

sentido Horário:

                                                                    

Arco AB orientado no

sentido Anti-horário:

                                                                 

RAZÕES TRIGONOMÉTRICAS


INTRODUÇÃO

A trigonometria no triângulo retângulo é o estudo sobre os triângulos que possuem um ângulo interno de 90°, que são os triângulos de ângulo reto.

O triângulo retângulo é formado:

• Catetos: são os lados do triângulo que formam o ângulo reto. São classificados em: cateto adjacente e cateto oposto. 
• Hipotenusa: é o lado oposto ao ângulo reto, sendo considerado o maior lado do triângulo retângulo. 

RELAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS



INTRODUÇÃO

As relações trigonométricas são relações entre valores das funções trigonométricas de um mesmo arco, também chamadas de identidades trigonométricas.

Inicialmente a trigonometria tinha como objetivo o cálculo das medidas dos lados e ângulos dos triângulos.

Nesse contexto, as razões trigonométricas sen θ, cos θ e tg θ são definidas como relações entre os lados de um triângulo retângulo.

Dado um triângulo retângulo ABC com um ângulo agudo θ, conforme figura abaixo:

A partir da imagem acima, definimos as razões trigonométricas seno, cosseno e tangente em relação ao ângulo θ, como:

Sendo,

a: hipotenusa, ou seja, lado oposto ao ângulo de 90º.

b: cateto oposto ao ângulo θ.

c: cateto adjacente ao ângulo θ. 

Relações Trigonométricas do Triângulo Retângulo

As relações trigonométricas são resultado da divisão entre as medidas de dois lados de um triângulo retângulo, e por isso são chamadas de razões.

Temos então:

*cateto oposto sobre a hipotenusa.

*cateto adjacente sobre a hipotenusa.

*cateto oposto sobre o cateto adjacente.

A tabela trigonométrica apresenta os valores dos ângulos agudos (menores que 90°) das relações trigonométricas: seno, cosseno e tangente. Esses valores facilitam os cálculos que envolvem a trigonometria no triângulo retângulo.

Além delas, temos as razões inversas: secante, cossecante e cotangente.

* um sobre o cosseno.

* um sobre o seno.

* cosseno sobre o seno.

Semelhança e congruência de triângulos

Semelhança de triângulos

Observe os triângulos ABC e DEF, construídos de modo a terem a mesma forma.

Observe que:

Se calcularmos as razões entre os lados correspondentes, teremos:

                          

Note que as razões são todas iguais, ou seja, os lados correspondentes (homólogos) são proporcionais.

Daí, podemos estabelecer a seguinte definição:

Dois triângulos são semelhantes se seus ângulos são congruentes e os lados homólogos são proporcionais.

Em símbolos matemáticos, podemos escrever:

Critérios de semelhança

         AA (ângulo – ângulo)

Sejam dois triângulos ABC e DEF. Se dois triângulos possuem dois ângulos respectivamente congruentes, então os triângulos são semelhantes

         LAL (lado – ângulo – lado)

Se dois triângulos têm dois lados correspondentes proporcionais e os ângulos compreendidos são congruentes, então os triângulos são semelhantes.

  LLL (lado – lado – lado)

Se dois triângulos têm os lados correspondentes proporcionais, então os triângulos são semelhantes.

Critérios de congruência

         LAL (lado – ângulo – lado)

Se dois triângulos têm ordenadamente congruentes dois lados e o ângulo compreendido, então eles são congruentes.

         ALA (ângulo – lado – ângulo)

Se dois triângulos têm ordenadamente congruentes um lado e os dois ângulos a ele adjacentes, então esses triângulos são congruentes.

         LLL (lado – lado – lado)

Se dois triângulos têm ordenadamente congruentes os três lados, então esses triângulos são congruentes.

         LAAₒ

Se dois triângulos têm ordenadamente congruentes um lado, um ângulo adjacente e o ângulo oposto a esse lado, então esses triângulos são congruentes.

TRIÂNGULOS

Triângulo é um polígono de três lados e três ângulos.Iremos falar de quatro tipos de triângulos, e seus nomes variam em relação aos seus lados e ângulos:

• Isósceles; 

• Equilátero; 

• Escaleno; 

• Retângulo; 

PROPRIEDADES DOS TRIÂNGULOS

• Os triângulos são compostos por três vértices; 
• A base pode ser qualquer um dos lados para o cálculo da área do triângulo. Quando é um triângulo isósceles, a base pode ser considerada o lado desigual; 
• A altura representa a perpendicular a partir do vértice oposto; 
• Como existem três bases possíveis, existem também três alturas possíveis; 
• A mediana de um triângulo é a linha a partir do vértice para o ponto médio do lado oposto; 
• As três medianas intersectam-se em um único ponto denominado centro do triângulo; 
• O lado mais curto é sempre o oposto ao menor ângulo interior; 
• O lado mais longo é sempre oposto ao maior ângulo interior.

PROPRIEDADES COMUNS DOS TRIÂNGULOS

• As somas dos ângulos internos de um triângulo sempre somam 180º; 
• As somas dos ângulos externos sempre resultam em 360º; 
• Os vértices do triângulo são representados por letras maiúsculas, A, B, e C. Já os lados são representados por letras minúsculas, a, b, c.

TIPOS DE TRIÂNGULOS

De acordo com seus lados.

• Triangulo Isósceles 

Tem dois lados iguais e um diferente. O lado desigual geralmente é a base do triângulo.




                                         

• Triângulo Equilátero 

Todos os lados são iguais.





                                       

• Triângulo Escaleno 

Todos os lados são diferentes.



                                       

Temos também os triângulos classificados de acordo com seus ângulos, entretanto, iremos citar aqui, apenas um, pois iremos trabalhar com este tipo de triângulo na trigonometria.

• Triângulo Retângulo 

Um de seus ângulos formam 90°.



                                          

Ângulos

Ângulo é a união de duas semirretas por um vértice, à abertura dessas semirretas atribuímos o nome de ângulo.

Nomenclaturas

·         Lados: os lados são as semirretas que compõe o ângulo e são representados por duas letras maiúsculas sob uma seta para a direita ou para esquerda. 

·    Vértice do ângulo: Como explicado anteriormente, o vértice é a união das semirretas e é representado por uma letra maiúscula. (Normalmente a letra O de origem).

           Ângulo: Pode ser representado de 3 formas:

1.       Semirreta - Vértice – Semirreta. Ex: aÔb ou bÔa. 

2.       Ponto – Vértice – Ponto. EX: AÔB ou BÔA.

      3.       Vértice. Ex: Ô.

Graus x Radianos

 As duas unidades de medida são comumente usadas para representar ângulos sendo até confundidas como mesma unidade, porém elas têm uma diferença:

•       Graus: Medida utilizada para medir ângulos no geral. (°)

•       Radianos: Medida usada para determinar o tamanho de um arco de circunferência, ou seja, radianos é o espaço entre dois raios de uma circunferência que determinará o ângulo.

Variação

 Sendo o ângulo medido em graus, ele pode possuir alguns submúltiplos como por exemplo os “minutos” (‘) ou os “segundos” (‘’) que nada mais são do que

Ângulos Especiais

·      Ângulo Reto: Nome atribuído a medida de 90°, representado pelo símbolo circulado na imagem abaixo.

·      Ângulo Raso: Nome atribuído a medida de 180°.

·    Ângulo Nulo: Nome atribuído quando o ângulo formado é 0°, ou seja, as semirretas são coincidentes.

·      Ângulo Agudo: Nome atribuído a qualquer ângulo entre 0° e 90°.

·      Ângulo Obtuso: Nome atribuído a qualquer ângulo entre 90° e 180°.

Ângulos Consecutivos e Adjacentes: Os ângulos são consecutivos quando possuírem um lado em comum, e tiverem o mesmo vértice. Podem possuir pontos em comum.

Os ângulos adjacentes são um caso especial dos consecutivos, sendo assim, ele tem a mesmas propriedades citadas no item anterior, mas nesse caso os ângulos não possuem nenhum ponto em comum.

Ângulos Complementares e Suplementares: Os ângulos são complementares quando a sua soma gera um ângulo reto (90°) e são suplementares quando a sua soma der 180°.

OBS: Essas nomenclaturas só serão válidas na soma de dois ângulos, se a soma for de três ou mais, a nomenclatura não pode ser usada.