Ciclo Trigonométrico

A trigonometria possui diversas aplicações práticas. Encontramos aplicações da Trigonometria na Engenharia, na Mecânica, na Eletricidade, na Acústica, na Medicina, na Astronomia e até na Música. Por exemplo, a trigonometria do triângulo retângulo nos permite realizar facilmente cálculos como:

• Altura de um prédio através de sua sombra; 
• Distância a ser percorrida em uma pista circular de atletismo; 
• Largura de rios, montanhas etc.; 
• Medida do raio da Terra, distância entre a Terra e a Lua. 

Os estudos trigonométricos no triângulo retângulo têm por finalidade relacionar os ângulos do triângulo com as medidas dos lados, por meio das seguintes relações: seno, cosseno e tangente.



Com a finalidade de facilitar esses estudos e visualização das relações e proporções entre os lados dos triângulos retângulos, foi idealizado o ciclo trigonométrico, que nada mais é do que uma circunferência de raio unitário com centro na origem de dois eixos de um plano cartesiano ortogonal.



A ideia de volta está presente no ciclo trigonométrico. Como o comprimento da circunferência é 2·π, podemos dizer que uma volta completa nesse ciclo tem essa medida. Portanto, meia-volta é igual a π. O ângulo gerado por meia-volta é 180°, pois é metade de 360°

                          

Quadrantes

Os ângulos presentes na figura acima marcam posições muito importantes no ciclo trigonométrico: os chamados quadrantes. Eles são definidos no sentido anti-horário.

Em cada um desses quadrantes pode ser encontrado um intervalo de números reais em função de π em que cada valor está relacionado a um ângulo. Veja:

• Quadrante I: contém os números reais que vão de 0 até π/2 e os ângulos entre 0° e 90°. 
• Quadrante II: contém os números reais que vão de π/2 até π e os ângulos entre 90° e 180°. 
• Quadrante III: contém os números reais que vão de π até 3π/2 e os ângulos entre 180° e 270°. 
• Quadrante VI: contém os números reais que vão de 3π/2 até 2π e os ângulos entre 270° e 360°. 

Arcos e Ângulos

Arco é o comprimento compreendido entre dois pontos pertencentes a uma dada circunferência. O arco que corresponde à metade de uma circunferência é uma semicircunferência; a quarta parte é um quadrante.


Seja uma circunferência de centro O sobre a qual tomamos dois pontos distintos, A e B. A seguir, ainda sobre a circunferência, tomemos um terceiro ponto M, distinto dos anteriores. A circunferência fica dividida em duas partes, cada uma das quais é um arco de circunferência:

• Arco de circunferência AMB, e
• Arco de circunferência AM'B.
• A e B são as extremidades do arco.

                                                             
É importante lembrar que:


A cada arco tomado corresponde um ângulo central e a medida de um arco equivale à medida do ângulo central correspondente.


Assim, por exemplo, se, na figura, x é a medida do ângulo central AÔB então m (AMB) = x. Analogamente se y é a medida do outro ângulo central então m(AM'B) = y.


Se não houver dúvida quando ao arco a que nos referimos, podemos escrever apenas AB ao invés de AMB.


Atenção: não confunda medida de arco com comprimento de arco. Estes são conceitos bem diferentes. Se por exemplo você puder “cortar” a circunferência mostrada na figura acima nos pontos A e B e em seguida “alinhar” cada um dos dois arcos segundo um segmento de reta e medir o comprimento desses segmentos (com uma régua, por exemplo) você obterá como resultados os comprimentos dos dois arcos.

MEDIDAS DE ARCOS E ÂNGULOS

Medir um arco (ou ângulo) é compará-lo com outro, unitário.

• GRAU

Um grau é definido como a medida do ângulo central subtendido por um arco igual a 1/360 da circunferência que contém o arco. (Indica-se 1º). Então podemos dizer que uma circunferência (ou arco de uma volta) mede 360º.

• RADIANOS

O radiano (notação: rad) é definido como a medida de um ângulo central subtendido por um arco cujo comprimento é igual ao raio da circunferência que contém o arco. A circunferência toda contém 2π raios, o que significa que seu comprimento é igual a 2πr e que a medida dela (correspondente ao arco de uma volta) é de 2π rad.

O que é o ?

Os egípcios chegaram ao valor aproximado de 3,14159265358979323846… há 3500 anos partindo de um quadrado inscrito numa circunferência, cujo lado media nove unidades. Eles, então, dobraram os lados do quadrado para obter um polígono de oito lados e calcularam a razão entre os perímetros dos octógonos inscrito e circunscrito e o diâmetro da circunferência.



Sabendo-se que a circunferência (ou arco de uma volta) mede 360º ou 2π rad, podemos estabelecer entre as unidades as relações:

360º<->2πrad

180º <-> πrad

O percurso sobre um arco desde sua origem até sua extremidade poderá ser feito em dois sentidos: horário ou anti-horário.

Arco AB orientado no

sentido Horário:

                                                                    

Arco AB orientado no

sentido Anti-horário: