Semelhança e congruência de triângulos

Semelhança de triângulos

Observe os triângulos ABC e DEF, construídos de modo a terem a mesma forma.

Observe que:

Se calcularmos as razões entre os lados correspondentes, teremos:

                          

Note que as razões são todas iguais, ou seja, os lados correspondentes (homólogos) são proporcionais.

Daí, podemos estabelecer a seguinte definição:

Dois triângulos são semelhantes se seus ângulos são congruentes e os lados homólogos são proporcionais.

Em símbolos matemáticos, podemos escrever:

Critérios de semelhança

         AA (ângulo – ângulo)

Sejam dois triângulos ABC e DEF. Se dois triângulos possuem dois ângulos respectivamente congruentes, então os triângulos são semelhantes

         LAL (lado – ângulo – lado)

Se dois triângulos têm dois lados correspondentes proporcionais e os ângulos compreendidos são congruentes, então os triângulos são semelhantes.

  LLL (lado – lado – lado)

Se dois triângulos têm os lados correspondentes proporcionais, então os triângulos são semelhantes.

Critérios de congruência

         LAL (lado – ângulo – lado)

Se dois triângulos têm ordenadamente congruentes dois lados e o ângulo compreendido, então eles são congruentes.

         ALA (ângulo – lado – ângulo)

Se dois triângulos têm ordenadamente congruentes um lado e os dois ângulos a ele adjacentes, então esses triângulos são congruentes.

         LLL (lado – lado – lado)

Se dois triângulos têm ordenadamente congruentes os três lados, então esses triângulos são congruentes.

         LAAₒ

Se dois triângulos têm ordenadamente congruentes um lado, um ângulo adjacente e o ângulo oposto a esse lado, então esses triângulos são congruentes.

TRIÂNGULOS

Triângulo é um polígono de três lados e três ângulos.Iremos falar de quatro tipos de triângulos, e seus nomes variam em relação aos seus lados e ângulos:

• Isósceles; 

• Equilátero; 

• Escaleno; 

• Retângulo; 

PROPRIEDADES DOS TRIÂNGULOS

• Os triângulos são compostos por três vértices; 
• A base pode ser qualquer um dos lados para o cálculo da área do triângulo. Quando é um triângulo isósceles, a base pode ser considerada o lado desigual; 
• A altura representa a perpendicular a partir do vértice oposto; 
• Como existem três bases possíveis, existem também três alturas possíveis; 
• A mediana de um triângulo é a linha a partir do vértice para o ponto médio do lado oposto; 
• As três medianas intersectam-se em um único ponto denominado centro do triângulo; 
• O lado mais curto é sempre o oposto ao menor ângulo interior; 
• O lado mais longo é sempre oposto ao maior ângulo interior.

PROPRIEDADES COMUNS DOS TRIÂNGULOS

• As somas dos ângulos internos de um triângulo sempre somam 180º; 
• As somas dos ângulos externos sempre resultam em 360º; 
• Os vértices do triângulo são representados por letras maiúsculas, A, B, e C. Já os lados são representados por letras minúsculas, a, b, c.

TIPOS DE TRIÂNGULOS

De acordo com seus lados.

• Triangulo Isósceles 

Tem dois lados iguais e um diferente. O lado desigual geralmente é a base do triângulo.




                                         

• Triângulo Equilátero 

Todos os lados são iguais.





                                       

• Triângulo Escaleno 

Todos os lados são diferentes.



                                       

Temos também os triângulos classificados de acordo com seus ângulos, entretanto, iremos citar aqui, apenas um, pois iremos trabalhar com este tipo de triângulo na trigonometria.

• Triângulo Retângulo 

Um de seus ângulos formam 90°.



                                          

Ângulos

Ângulo é a união de duas semirretas por um vértice, à abertura dessas semirretas atribuímos o nome de ângulo.

Nomenclaturas

·         Lados: os lados são as semirretas que compõe o ângulo e são representados por duas letras maiúsculas sob uma seta para a direita ou para esquerda. 

·    Vértice do ângulo: Como explicado anteriormente, o vértice é a união das semirretas e é representado por uma letra maiúscula. (Normalmente a letra O de origem).

           Ângulo: Pode ser representado de 3 formas:

1.       Semirreta - Vértice – Semirreta. Ex: aÔb ou bÔa. 

2.       Ponto – Vértice – Ponto. EX: AÔB ou BÔA.

      3.       Vértice. Ex: Ô.

Graus x Radianos

 As duas unidades de medida são comumente usadas para representar ângulos sendo até confundidas como mesma unidade, porém elas têm uma diferença:

•       Graus: Medida utilizada para medir ângulos no geral. (°)

•       Radianos: Medida usada para determinar o tamanho de um arco de circunferência, ou seja, radianos é o espaço entre dois raios de uma circunferência que determinará o ângulo.

Variação

 Sendo o ângulo medido em graus, ele pode possuir alguns submúltiplos como por exemplo os “minutos” (‘) ou os “segundos” (‘’) que nada mais são do que

Ângulos Especiais

·      Ângulo Reto: Nome atribuído a medida de 90°, representado pelo símbolo circulado na imagem abaixo.

·      Ângulo Raso: Nome atribuído a medida de 180°.

·    Ângulo Nulo: Nome atribuído quando o ângulo formado é 0°, ou seja, as semirretas são coincidentes.

·      Ângulo Agudo: Nome atribuído a qualquer ângulo entre 0° e 90°.

·      Ângulo Obtuso: Nome atribuído a qualquer ângulo entre 90° e 180°.

Ângulos Consecutivos e Adjacentes: Os ângulos são consecutivos quando possuírem um lado em comum, e tiverem o mesmo vértice. Podem possuir pontos em comum.

Os ângulos adjacentes são um caso especial dos consecutivos, sendo assim, ele tem a mesmas propriedades citadas no item anterior, mas nesse caso os ângulos não possuem nenhum ponto em comum.

Ângulos Complementares e Suplementares: Os ângulos são complementares quando a sua soma gera um ângulo reto (90°) e são suplementares quando a sua soma der 180°.

OBS: Essas nomenclaturas só serão válidas na soma de dois ângulos, se a soma for de três ou mais, a nomenclatura não pode ser usada.

Introdução a Geometria

Noções Primitivas:

Pelos axiomas declarados por Euclides no livro “Os Elementos”, por volta de 300 a.C., temos por meio deles que:

•      Um ponto, uma reta e um plano não são comprovados por meio de demonstrações, sendo assim, são conhecidos por experiência e observação.

•       Para se determinar uma reta, são necessários dois pontos distintos.

•       Para se construir um plano são necessários 3 pontos distintos e não colineares.

Conceitos:

Ponto: É um elemento do espaço que indica posição.

Retas: É um conjunto de pontos infinitos para qualquer direção. 

Semirretas: A partir de uma origem, segue com infinitos pontos em uma única direção.

Segmento de reta: É uma linha que possuí começo e fim, e entre eles, uma infinidade de pontos.

Vértice: É o ponto de união entre duas semirretas ou segmentos de reta.

Nomenclatura:

Pontos e Vértices: Letra Maiúscula: A, B, C, ...

Retas e Semirretas: Letra Minúscula: a, b, c, ...‎‎ 

• Podemos usar para retas:         

• E semirretas: 

Segmentos: Letra Minúscula: a, b, c, ... ou por notação de ponto a ponto:

Ângulos: Letras Gregas: α, β, γ, δ, θ, ... (Às vezes são usadas letras minúsculas).